Question

如圖，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線(xiàn)相交于O，MN過(guò)點(diǎn)O且與BC平行，△ABC的周長(zhǎng)為20，△AMN的周長(zhǎng)為12，則BC的長(zhǎng)為

1. A.
   8
2. B.
   4
3. C.
   32
4. D.
   16

Answer 1

A
分析：由BO為角平分線(xiàn)，得到一對(duì)角相等，再由MN平行于BC，利用兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得到一對(duì)角相等，等量代換可得出∠MBO=∠MOB，利用等角對(duì)等邊得到MO=MB，同理得到NO=NC，而三角形ABC的周長(zhǎng)等于三邊相加，即AB+BC+AC，其中AB=AM+MB，AC=AN+NC，等量代換后可得出三角形ABC的周長(zhǎng)等于三角形AMN的周長(zhǎng)與BC的和，即BC等于兩三角形的周長(zhǎng)之差，將兩三角形的周長(zhǎng)代入，即可求出BC的長(zhǎng)．
解答：∵OB平分∠MBC，
∴∠MBO=∠OBC，
又MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MOB=∠MBO，
∴MB=MO，同理可得∠NOC=∠NCO，
∴NO=NC，
∴（AB+AC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MB+AN+NC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MO+AN+NO+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+AN+MN+BC）-（AM+AN+MN）
=BC，
又∵△ABC的周長(zhǎng)為20，△AMN的周長(zhǎng)為12，即AB+AC+BC=20，AM+AN+MN=12，
則BC=20-12=8．
故選A
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．