Question

7．建立模型：
如圖1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，頂點C在直線l上．
操作：
過點A作AD⊥l于點D，過點B作BE⊥l于點E．求證：△CAD≌△BCE．
模型應(yīng)用：
（1）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，直線l₁：y=$\frac{4}{3}$x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，將直線l₁繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到l₂．求l₂的函數(shù)表達(dá)式．
（2）如圖3，在直角坐標(biāo)系中，點B（8，6），作BA⊥y軸于點A，作BC⊥x軸于點C，P是線段BC上的一個動點，點Q（a，2a-6）位于第一象限內(nèi)．問點A、P、Q能否構(gòu)成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若能，請求出此時a的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 操作：根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠ACD=∠CBE，根據(jù)全等三角形的判定，可得答案；
應(yīng)用（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B點坐標(biāo)，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CD，BD的長，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AC的解析式；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：操作：如圖1：，
∵∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠D=∠E}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△CAD≌△BCE（AAS）；
（1）∵直線y=$\frac{4}{3}$x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，
∴A（0，4）、B（-3，0）．
如圖2：，
過點B做BC⊥AB交直線l₂于點C，過點C作CD⊥x軸
在△BDC和△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠BAO}\\{∠D=∠O}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD=BO=3，BD=AO=4．OD=OB+BD=3+4=7，
∴C點坐標(biāo)為（-7，3）．
設(shè)l₂的解析式為y=kx+b，將A，C點坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-7k+b=3}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{7}}\\{b=4}\end{array}\right.$
l₂的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{1}{7}$x+4；
（2）由題意可知，點Q是直線y=2x-6上一點．
如圖3：，
過點Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點E、F．
在△AQE和△QPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠QPF}\\{∠E=∠F}\\{AQ=PQ}\end{array}\right.$，
∴△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，即6-（2a-6）=8-a，
解得a=4
如圖4：，
過點Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點E、F，
AE=2a-12，F(xiàn)Q=8-a．
在△AQE和△QPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠QPF}\\{∠E=∠F}\\{AQ=PQ}\end{array}\right.$，
△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，即2a-12=8-a，
解得a=$\frac{20}{3}$；
綜上所述：A、P、Q可以構(gòu)成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，a的值為$\frac{20}{3}$或4．

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用余角的性質(zhì)得出∠ACD=∠CBE是解題關(guān)鍵，又利用了全等三角形的判定；利用了全等三角形的性質(zhì)得出CD，BD的長是解題關(guān)鍵，又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用全等三角形的性質(zhì)得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．