Question

3．如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α．
（1）當(dāng)α=60°，且點D在AC上，連BD、AE，相交于點G，如圖①，求∠BGA．
（2）若0°＜α＜90°，如圖②，求∠BGC．

Answer 1

分析 （1）由SAS證明△BCD≌△ACE，得出對應(yīng)角相等∠CBD=∠CAE，由三角形的外角性質(zhì)證出∠BCA=∠BGA，即可得出結(jié)果；
（2）證出∠BCD=∠ACE，由SAS證明△BCD≌△ACE，得出∠CBD=∠CAE，證出A、B、C、G四點共圓，由圓周角定理得出∠BGC=∠BAC，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}&{\;}\\{∠ACB=∠DCE}&{\;}\\{∠CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠CDG=∠CBD+∠BCD=∠CAE+∠BGA，
∴∠BCA=∠BGA，
∴∠BGA=60°；
（2）∵∠BCA=∠DCE，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}&{\;}\\{∠ACB=∠DCE}&{\;}\\{∠CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD=∠CAE，
∴A、B、C、G四點共圓，
∴∠BGC=∠BAC，
∵∠BCA=α，BC=AC，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴∠BGC=∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-α）．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．