Question

（2007•株洲）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分別是AD，BC，BD，AC的中點．
求證：MN與PQ互相垂直平分．

Answer 1

【答案】分析：先利用平行四邊形的判定得出PM=AB；NQ=AB，證明四邊形MPNQ是平行四邊形后再證得四邊形MPNQ為菱形，然后可證得MN與PQ互相垂直平分．
解答：證明：連接MP，PN，NQ，QM，
∵AM=MD，BP=PD，
∴PM=AB，
∴PM是△ABD的中位線，
∴PM∥AB；
同理NQ=AB，NQ∥AB，MQ=DC，
∴PM=NQ，且PM∥NQ．
∴四邊形MPNQ是平行四邊形．（3分）
又∵AB=DC，∴PM=MQ，
∴平行四邊形MPNQ是菱形．（5分）
∴MN與PQ互相垂直平分．（6分）
點評：本題考查的是線段的垂直平分線的性質（垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等）有關知識以及平行四邊形的判定定理．