Question

如圖，等邊三角形ABC，邊長(zhǎng)為2，AD是BC邊上的高．
（1）在△ABC內(nèi)部作一個(gè)矩形EFGH（如圖1），其中E、H分別在邊AB、AC上，F(xiàn)G在邊BC上．
①設(shè)矩形的一邊FG=x，那么EF=

 

．（用含有x的代數(shù)式表示）
②設(shè)矩形的面積為y，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？
（2）在圖2中，只用圓規(guī)畫(huà)出點(diǎn)E，使得上述矩形EFGH面積最大．寫(xiě)出畫(huà)法，并保留作圖痕跡．

Answer 1

分析：（1）①FG=x，那么FD=

x

2

，易得BD=1，那么BF=1-

x

2

，∵∠B=60°，∠EFB=90°，∴EF=

3

-

3

2

x．
②面積=長(zhǎng)×寬，那么就可以表示為關(guān)于x的二次函數(shù)，得出最值即可．
（2）由②得，F(xiàn)G=1時(shí)矩形面積最大，此時(shí)，BF=0.5，那么BE=1，那么以B為圓心，BD為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)E即可．

解答：解：（1）①

3

-

3

2

x．（2分）
②y=FG•EF=x(

3

-

3

2

x)=-

3

2

x2+

3

x（6分）
=-

3

2

(x-1)2+

3

2

．（7分）
當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，且最大值為

3

2

．（8分）

（2）畫(huà)法：以B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求（10分）
畫(huà)圖正確（12分）

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)及特殊的三角函數(shù)求得矩形另一邊長(zhǎng)．