Question

（2004•北碚區(qū)）如圖，有一塊塑料矩形模板ABCD，長(zhǎng)為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)P．
（1）能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由；
（2）再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，直角邊PH始終通過點(diǎn)B，另一直角邊PF與DC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否使CE=2 cm？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)你說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，判定△ABP∽△DPQ列出方程求解；
（2）能根據(jù)矩形的性質(zhì)，判定△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ列出方程求解即可．
解答：解：（1）設(shè)AP=xcm，則PD=（10-x）cm，
因?yàn)椤螦=∠D=90°，∠BPC=90°，
所以∠DPC=∠ABP，
所以△ABP∽△DPC，
則=，即AB•DC=PD•AP，
所以4×4=x（10-x），即x²-10x+16=0，
解得x₁=2，x₂=8，
所以可以使三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C，AP=2cm或8cm；

（2）能．
設(shè)AP=xcm，CQ=ycm．
∵ABCD是矩形，∠HPF=90°，
∴△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ，
∴=，=，
∴AP•CE=AB•CQ，AP•PD=AB•DQ，
∴2x=4y，即y=，
∴x（10-x）=4（4+y），
∵y=，
即x²-8x+16=0，
解得x₁=x₂=4，
∴AP=4cm，
即在AP=4cm時(shí)，CE=2 cm．
點(diǎn)評(píng)：本題考查主要對(duì)一元二次方程的應(yīng)用，而且還得知道矩形的性質(zhì)，知道相似三角形的性質(zhì)，可以正確判定相似三角形．