Question

如圖，已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別相交于A、C兩點，拋物線y=-2x²+bx+c經(jīng)過點A、C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為P，在拋物線上存在點Q，使△ABQ的面積等于△APC面積的4倍．求出點Q的坐標(biāo)；
（3）點M是直線y=-2x+4上的動點，過點M作ME垂直x軸于點E，在y軸（原點除外）上是否存在點F，使△MEF為等腰直角三角形？若存在，求出點F的坐標(biāo)及對應(yīng)的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線y=-2x+4求出點A、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點P的坐標(biāo)，過點P作PD⊥y軸于D，根據(jù)點P、C的坐標(biāo)求出PD、CD，然后根據(jù)S_△APC=S_梯形APOD-S_△AOC-S_△PCD，列式求出△APC的面積，再根據(jù)拋物線解析式求出點B的坐標(biāo)，從而得到AB的長度，然后利用三角形的面積公式求出△ABQ的點Q的縱坐標(biāo)的值，然后代入拋物線求解即可得到點Q的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)點E在x軸上，根據(jù)點M在直線y=-2x+4上，設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，-2a+4），然后分①∠EMF=90°時，利用點M到坐標(biāo)軸的距離相等列式求解即可；②∠MFE=90°時，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，點M的橫坐標(biāo)的長度等于縱坐標(biāo)長度的一半，然后列式進行計算即可得解．
解答：解：（1）令x=0，則y=4，
令y=0，則-2x+4=0，解得x=2，
所以，點A（2，0），C（0，4），
∵拋物線y=-2x²+bx+c經(jīng)過點A、C，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y=-2x²+2x+4；

（2）∵y=-2x²+2x+4=-2（x-）²+，
∴點P的坐標(biāo)為（，），
如圖，過點P作PD⊥y軸于D，
又∵C（0，4），
∴PD=，CD=-4=，
∴S_△APC=S_梯形APOD-S_△AOC-S_△PCD，
=×（+2）×-××-×2×4，
=--4，
=，
令y=0，則-2x²+2x+4=0，
解得x₁=-1，x₂=2，
∴點B的坐標(biāo)為（-1，0），
∴AB=2-（-1）=3，
設(shè)△ABQ的邊AB上的高為h，
∵△ABQ的面積等于△APC面積的4倍，
∴×3h=4×，
解得h=4，
∵4＜，
∴點Q可以在x軸的上方也可以在x軸的下方，
即點Q的縱坐標(biāo)為4或-4，
當(dāng)點Q的縱坐標(biāo)為4時，-2x²+2x+4=4，
解得x₁=0，x₂=1，
此時，點Q的坐標(biāo)為（0，4）或（1，4），
當(dāng)點Q的縱坐標(biāo)為-4時，-2x²+2x+4=-4，
解得x₁=，x₂=，
此時點Q的坐標(biāo)為（，-4）或（，-4），
綜上所述，存在點Q（0，4）或（1，4）或（，-4）或（，-4）；

（3）存在．
理由如下：如圖，∵點M在直線y=-2x+4上，
∴設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，-2a+4），
①∠EMF=90°時，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=|-2a+4|，
即a=-2a+4或a=-（-2a+4），
解得a=或a=4，
∴點F坐標(biāo)為（0，）時，點M的坐標(biāo)為（，），
點F坐標(biāo)為（0，-4）時，點M的坐標(biāo)為（4，-4）；
②∠MFE=90°時，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=|-2a+4|，
即a=（-2a+4），
解得a=1，
-2a+4=2×1=2，
此時，點F坐標(biāo)為（0，1），點M的坐標(biāo)為（1，2），
或a=-（-2a+4），
此時無解，
綜上所述，點F坐標(biāo)為（0，）時，點M的坐標(biāo)為（，），
點F坐標(biāo)為（0，-4）時，點M的坐標(biāo)為（4，-4）；
點F坐標(biāo)為（0，1），點M的坐標(biāo)為（1，2）．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了直線與坐標(biāo)軸的交點的求解，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)頂點坐標(biāo)的求解，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，（3）要注意分情況討論．