Question

18．如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形．若四邊形ABCD的面積記為S₁，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S₂，則S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系是（　　）

• A． S₁=3S₂
• B． 2S₁=3S₂
• C． S₁=2S₂
• D． 3S₁=4S₂

Answer 1

分析 由E為AB中點(diǎn)，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK與△ABM相似，△AEN與△ABM相似，利用面積之比等于相似比的平方，得到△EBK面積與△ABM面積之比為1：4，且△AEN與△EBK面積相等，進(jìn)而確定出四邊形EKMN面積為△ABM的一半，同理得到四邊形MKFP面積為△MBC面積的一半，四邊形QMPG面積為△DMC面積的一半，四邊形MNHQ面積為△ADM面積的一半，四個(gè)四邊形面積之和即為四個(gè)三角形面積之和的一半，即為四邊形ABCD面積的一半．

解答 解：設(shè)AC與EH、FG分別交于點(diǎn)N、P，BD與EF、HG分別交于點(diǎn)K、Q，
∵E是AB的中點(diǎn)，EF∥AC，EH∥BD，
∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，
∴$\frac{{S}_{△EBK}}{{S}_{△ABM}}$=$\frac{1}{4}$，S_△AEN=S_△EBK，
∴$\frac{{S}_{四邊形EKMN}}{{S}_{△ABM}}$=$\frac{1}{2}$，同理可得$\frac{{S}_{四邊形KFPM}}{{S}_{△BCM}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{S}_{四邊形QGPM}}{{S}_{△DCM}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{S}_{四邊形HQMN}}{{S}_{△DAM}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{四邊形EFGH}}{{S}_{四邊形ABCD}}$=$\frac{1}{2}$，
∴四邊形ABCD的面積為S₁，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S₂，則S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系是S₁=2S₂．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了中點(diǎn)四邊形以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用三角形中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．