Question

18．如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點所得四邊形EFGH叫中點四邊形．若四邊形ABCD的面積記為S₁，中點四邊形EFGH的面積記為S₂，則S₁與S₂的數量關系是（　�。�

• A． S₁=3S₂
• B． 2S₁=3S₂
• C． S₁=2S₂
• D． 3S₁=4S₂

Answer 1

分析 由E為AB中點，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK與△ABM相似，△AEN與△ABM相似，利用面積之比等于相似比的平方，得到△EBK面積與△ABM面積之比為1：4，且△AEN與△EBK面積相等，進而確定出四邊形EKMN面積為△ABM的一半，同理得到四邊形MKFP面積為△MBC面積的一半，四邊形QMPG面積為△DMC面積的一半，四邊形MNHQ面積為△ADM面積的一半，四個四邊形面積之和即為四個三角形面積之和的一半，即為四邊形ABCD面積的一半．

解答 解：設AC與EH、FG分別交于點N、P，BD與EF、HG分別交于點K、Q，
∵E是AB的中點，EF∥AC，EH∥BD，
∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，
∴$\frac{{S}_{△EBK}}{{S}_{△ABM}}$=$\frac{1}{4}$，S_△AEN=S_△EBK，
∴$\frac{{S}_{四邊形EKMN}}{{S}_{△ABM}}$=$\frac{1}{2}$，同理可得$\frac{{S}_{四邊形KFPM}}{{S}_{△BCM}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{S}_{四邊形QGPM}}{{S}_{△DCM}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{S}_{四邊形HQMN}}{{S}_{△DAM}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{四邊形EFGH}}{{S}_{四邊形ABCD}}$=$\frac{1}{2}$，
∴四邊形ABCD的面積為S₁，中點四邊形EFGH的面積記為S₂，則S₁與S₂的數量關系是S₁=2S₂．
故選：C．

點評 此題主要考查了中點四邊形以及相似三角形的判定與性質等知識，熟練應用三角形中位線的性質是解題關鍵．