Question

已知：∠MAN=30°，O為邊AN上一動點，以O為圓心，3為半徑作⊙O，交射線AN于點D，設AD=x．
（1）如圖1，當x為何值時，⊙O與AM相切？并求出切線長（結果保留根號）
（2）如圖2，當x為何值時，⊙O與AM相交于B、C兩點且∠BOC=90°？

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：

分析：（1）設AM于⊙O相切于點F，根據直角三角形的性質求出OA的長，進而可得出x的值，再根據勾股定理求出AF的長即可；
（2）過點O作OF⊥AM于點F，根據∠BOC=90°，OB=OC可知△OBC是等腰直角三角形，根據勾股定理可得出OF的長，進而得出OA的長，求出x的值即可．

解答：解：（1）設AM于⊙O相切于點F，
∵∠MAN=30°，
OF=3，
∴OA=2OF=6，
∴AD=AO-OD=6-3=3，即x=3；
∵Rt△AOF中，OA=6，OF=3，
∴AF=

OA2-OF2

=

62-32

=3

3

；

（2）過點O作OF⊥AM于點F，
∵∠BOC=90°，OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角，
∴∠OCF=45°，
∴2OF²=OC²，即2OF²=3²，解得OF=

3 2

2

．
∵∠MAN=30°，
∴OA=2OF=3

2

，
∴AD=OA-OD=3

2

-3，即x=3

2

-3．

點評：本題考查的是直線與圓的位置關系，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．