Question

已知：如圖，A是⊙O上一點(diǎn)，半徑OC的延長線與過點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn)，OC=BC，AC=OB．
（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若D為⊙O上一點(diǎn)，∠ACD=45°，AD=2，求扇形OAC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）相切．由于A是⊙O上一點(diǎn)，半徑OC的延長線與過點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn)，OC=BC，AC=OB，由此得到△OAC是等邊三角形，接著利用等邊三角形的性質(zhì)可以證明∠OCA=∠OAC=2∠B=60°，由此即可證明直線AB與⊙O相切；
（2）過O作OE⊥AD于E，利用垂徑定理和勾股定理可以求出半徑，然后利用扇形的面積公式即可求出扇形OAC的面積．
解答：解：（1）相切．
理由：∵A是⊙O上一點(diǎn)，半徑OC的延長線與過點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn)，OC=BC，AC=OB，
∴OA=OC=AC=CB，
∴△OAC是等邊三角形，
∴∠OAC=∠OCA=2∠B=2∠CAB=60°，
∴∠CAB=30°，
∴∠OAB=∠OAC+∠CAB=90°，
即OA⊥AB，而A是半徑OA的外端，
∴直線AB與⊙O相切；

（2）連接OD，過O作OE⊥AD于E，
∴AE=AD=，
∵∠ACD=45°，
∴∠EOA=45°，
∴AO=2，
根據(jù)（1）知道∠OAC=60°
S_扇形OAC==π．
點(diǎn)評：此題分別考查了切線的性質(zhì)與判定及扇形的面積的計(jì)算，首先利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得到∠OAB=90°，然后利用切線的判定證明切線，最后利用扇形的面積公式計(jì)算即可解決問題．