Question

已知，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如圖1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度數(shù)；
（2）在圖1中，若∠AOC=a，直接寫出∠DOE的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置．
①探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；
②在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，
試確定∠AOF 與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE的度數(shù)；
（2）由（1）可得出結(jié)論∠DOE=

1

2

∠AOC，從而用含a的代數(shù)式表示出∠DOE的度數(shù)；
（3）由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，則得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（90°-∠DOE），從而得出∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系；
（4）設(shè)∠DOE=x，∠AOF=y，根據(jù)已知和：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，得出4x-5y=180，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）由已知得∠BOC=180°-∠AOC=150°，
又∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COD-

1

2

∠BOC=90°-

1

2

×150°=15°；

（2）由（1）∴∠DOE=∠COD-

1

2

∠BOC=90°，
∴∠DOE=90°-

1

2

（180°-∠AOC），
∴∠DOE=

1

2

∠AOC=

1

2

α；

（3）∠AOC=2∠DOE；
理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，
 則得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（90°-∠DOE），
所以得：∠AOC=2∠DOE； 
②4∠DOE-5∠AOF=180°                      
理由：設(shè)∠DOE=x，∠AOF=y，
左邊=∠AOC-4∠AOF=2∠DOE-4∠AOF=2x-4y，
右邊=2∠BOE+∠AOF=2（90-x）+y=180-2 x+y，
所以，2x-4y=180-2 x+y  即4x-5y=180，
所以，4∠DOE-5∠AOF=180°．

點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)是角平分線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及角的計(jì)算，關(guān)鍵是正確運(yùn)用好有關(guān)性質(zhì)準(zhǔn)確計(jì)算角的和差倍分．