Question

如圖，已知：AB為⊙O的弦（非直徑），E為AB的中點(diǎn)，EO的延長(zhǎng)線與⊙O相交于C，CM∥AB，BO的延長(zhǎng)線與⊙O相交于F，與CM相交于D．
①求證：EC⊥CD；
②當(dāng)EO：OC=1：3，CD=4時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)垂徑定理不難得出OE⊥AB．又有AB∥CM，由此便可證得；
②AB∥CD，不難得出EO：OC=1：3；然后用半徑分別表示出OC，OD，CD，根據(jù)勾股定理來(lái)求出半徑的值．
解答：①證明：E為弦AB（非直徑）的中點(diǎn)，O為圓心，
∴∠OEB=90°，
∵∠ECD=∠OEB=90°，
即EC⊥CD；

②解：∵CD∥AB，EO：OC=1：3，
∴，
設(shè)OC=BO=x，則OD=3x，又CD=4，
在Rt△OCD中，由OC²+CD²=OD²，x²+4²=（3x）²，
解得：x₁=，x₂=-（舍去），
∴BO=，
即⊙O的半徑為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在圓內(nèi)對(duì)垂徑定理和勾股定理的綜合運(yùn)用．