Question

如圖拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點A（-1，0）、B（3，0），與y軸相交于點C，點P為線段OB上的動點（不與O、B重合），過點P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點E、F，點D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時，求點P的坐標(biāo)；

（3）過點A的直線將（2）中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式。（不必說明平分平行四邊形面積的理由）

第26題圖

備用圖

備用圖‚

Answer 1

解：（1）由拋物線經(jīng)過點A（-1,0）、B（3,0）得，

           ………………………………………………………1分

解得，   ∴拋物線的解析式為； …………2分

（2）解法一： 設(shè)點P（m,0）

∵點P在拋物線上，

∴PE=

把代入得, ∴C(0,3) ……3分

設(shè)直線BC解析式為，則

                                              

解得   ∴直線BC解析式為…………4分        第26題 圖①

∵點F在直線BC上，∴PF=

∴EF=PE-PF=      ……………………………5分

若四邊形ODEF是平行四邊形,則EF=OD=2

∴,            ……………………………6分

解得          ………………………………7分

∴P（1,0）或 P（2,0）             ………………………8分

解法二：如圖②

把代入得, ∴C(0,3)

設(shè)直線BC解析式為，則

                                              第26題 圖②

解得                       

∴直線BC解析式為            …………3分

過點D作DG⊥EF于點G，則四邊形ODGP是矩形

∴DG=OP  

若四邊形ODEF是平行四邊形  ∴DE∥OF

∴∠DEF=∠OFP

∵∠DGE=∠OPF=90°

 ∴△DEG≌△OFP

 ∴EG=FP                            ………………4分                             

設(shè)點P（m,0）∵點P在拋物線上，

∴PE=                ………………5分

∵點F在直線BC上，∴PF

∵EG==

∴=     ……………………6分

∴,解得      ………7分

∴P（1,0）或 P（2,0）           …………………8分

(3)當(dāng)點P(2,0)時，即OP=2,如圖③

       連接DF、OE相交于點G，取OP的中點H,連接GH

∵四邊形ODEF是平行四邊形

      ∴OG=GE

∴GH是△OEP的中位線

∴GH∥EP,GH=PE

      把=2代入得， ，即PE=3

∴GH=                                                      第26題圖③

∵GH∥EP 

∴GH⊥OP

 ∴G(1，)                   ……………………9分

      設(shè)直線AG的解析式為，則

      ，              ……………………10分

解得

∴將平行四邊形ODEF的面積等分的直線解析式為…11分

當(dāng)點P(1,0)時，即OP=1,如圖④

     連接DF、OE相交于點G，取OP的中點H,連接GH,

∵四邊形ODEF是平行四邊形

     ∴OG=GE

     ∵OH=HP=OP=

∴GH是△OEP的中位線

∴GH∥EP,GH=PE

 把=1代入得， ，即PE=4      第26題 ④圖

∴GH=2                                                   

∵GH∥EP  ∴∠GHO=∠EPO=90°

     ∴G(，2)                              ……………………12分

     設(shè)直線AG的解析式為，則

                               ……………………13分               

解得                           

∴將平行四邊形ODEF的面積等分的直線解析式為

  綜上所述，直線解析式為  或