Question

1．如圖，M為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點(diǎn)，AC=4，MD交AC于F，交BC延長(zhǎng)線于D，ME交BC于G，交AC延長(zhǎng)線于E，且AF=3，∠DMG=45°．
（1）寫出圖中的三對(duì)相似三角形．
（2）連接FG，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)求得兩組相等的角，即可判定三角形相似；
（2）根據(jù)△AMF∽△BGM，對(duì)應(yīng)邊成比例求得BG，進(jìn)而求得CG，然后根據(jù)勾股定理即可求得FG．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠DMG=45°，
∴∠D=∠DMG，
∵∠DGM=45°+∠BMG=∠DMB，
∴△DMG∽△DBM，
∵∠A=∠EMF=45°，∠AMF=45°+∠AMF=∠MFE，
∴△EMF∽△EAM，
∵∠A=∠B=45°，∠DGM=∠DMB，
∴∠MGB=∠AMF，
∴△AMF∽△BGM；
故相似的三角形有：△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，△AMF∽△BGM；
（2）∵AC=4，AF=3，
∴AB=4$\sqrt{2}$，CF=4-3=1，
∵M(jìn)為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點(diǎn)，
∴AM=BM=2$\sqrt{2}$，
∵△AMF∽△BGM，
∴$\frac{BG}{AM}$=$\frac{BM}{AF}$，
∴BG=$\frac{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴CG=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，
在RT△FCG中，F(xiàn)G=$\sqrt{C{F}^{2}+C{G}^{2}}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．