銳角△ABC，BC上有一點D，CA上有一點E，AB上有一點F，試證：存在唯一一組解，使△AEF∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CDE∽△CAB．

解：作△ABC的三條高AD0，BE0，CF0，結(jié)論顯然成立．
假設(shè)有一D點異于D0滿足條件，
則△BDF∽△BAC，
∴，
∴∠BFD=∠BF0D0=∠ACB，
同理，
于是，若D在D0左側(cè)，則E，F(xiàn)也在左側(cè)，與相交，故不平行；
∴∠AFE≠∠AF0E0=∠ACB，不符合要求．
若在右側(cè)亦然，
所以假設(shè)不成立．
故D0，E0，F(xiàn)0為唯一一組滿足條件的點．
分析：△ABC的三條高AD0，BE0，CF0，結(jié)論顯然成立．假設(shè)有一D點異于D0滿足條件，通過△BDF∽△BAC，得，得到∠BFD=∠BF0D0=∠ACB，同理有，若D在D0左側(cè)，則E，F(xiàn)也在左側(cè)，與相交，故不平行，得到AFE≠∠AF0E0=∠ACB，不符合要求．若在右側(cè)亦然，所以假設(shè)不成立．原結(jié)論成立．
點評：本題考查了直角三角形相似的判定與性質(zhì)：有一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形相似．也考查了直線平行的性質(zhì)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•寧波一模）如圖1，P是銳角△ABC所在平面上一點．如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點P就叫做△ABC費馬點．
（1）當(dāng)△ABC是邊長為4的等邊三角形時，費馬點P到BC邊的距離為
2
3
3
2
3
3
．
（2）若點P是△ABC的費馬點，∠ABC=60°，PA=2，PC=3，則PB的值為
6
6
．
（3）如圖2，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′，連接BB′．求證：BB′過△ABC的費馬點P．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

問題提出

我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問題的策略一般要進行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差M－N，若M－N＞0，則M＞N；若M－N＝0，則M＝N；若M－N＜0，則M＜N．

問題解決

如圖1，把邊長為a＋b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大�。�

解：由圖可知：M＝a2＋b2，N＝2ab．

∴M－N＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．

∵a≠b，∴(a－b)2＞0．

∴M－N＞0．

∴M＞N．

類比應(yīng)用

1.已知：多項式M ＝2a2－a＋1 ，N ＝a2－2a ．試比較M與N的大�。�

2.已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊

滿足a ＜b ＜ c ，現(xiàn)將△ABC 補成長方形，使得△ABC的兩個頂

點為長方形的兩個端點，第三個頂點落在長方形的這一邊的對邊上。                     

     ①這樣的長方形可以畫       個；

②所畫的長方形中哪個周長最��？為什么？

拓展延伸                                                                                                                               

     已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊滿足a ＜b ＜ c ，畫其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH , 使E、F兩點在邊BC上，G、H分別在邊AC、AB上，同樣還可畫AC、AB邊上的內(nèi)接正方形，問哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大？為什么？

 

 

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013屆江蘇省江陰市長涇片九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題


【問題提出】我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問題的策略一般要進行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差M－N，若M－N＞0，則M＞N；若M－N＝0，則M＝N；若M－N＜0，則M＜N．
【問題解決】如圖1，把邊長為a＋b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小．

解：由圖可知：，．
∴．
∵a≠b，∴＞0．
∴M－N＞0．∴M＞N．
【類比應(yīng)用】(1)已知：多項式M ＝2a2－a＋1 ，N ＝a2－2a ．
試比較M與N的大�。�
(2)已知：如圖2，銳角△ABC (其中BC為a ，AC為 b，
AB為c)三邊滿足a ＜b ＜ c ，現(xiàn)將△ABC 補成長方形，
使得△ABC的兩個頂點為長方形的兩個端點，第三個頂點落
在長方形的這一邊的對邊上。
 
①這樣的長方形可以畫     個；
②所畫的長方形中哪個周長最小？為什么？
【拓展延伸】 已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊滿足a ＜b ＜ c ，畫其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH , 使E、F兩點在邊BC上，G、H分別在邊AC、AB上，同樣還可畫AC、AB邊上的內(nèi)接正方形，問哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大？為什么？

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省江陰市長涇片九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

【問題提出】我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問題的策略一般要進行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差M－N，若M－N＞0，則M＞N；若M－N＝0，則M＝N；若M－N＜0，則M＜N．

【問題解決】如圖1，把邊長為a＋b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大�。�

解：由圖可知：，．

∴．

∵a≠b，∴＞0．

∴M－N＞0．∴M＞N．

【類比應(yīng)用】(1)已知：多項式M ＝2a2－a＋1 ，N ＝a2－2a ．

試比較M與N的大�。�

(2)已知：如圖2，銳角△ABC (其中BC為a ，AC為 b，

AB為c)三邊滿足a ＜b ＜ c ，現(xiàn)將△ABC 補成長方形，

使得△ABC的兩個頂點為長方形的兩個端點，第三個頂點落

在長方形的這一邊的對邊上。

 

①這樣的長方形可以畫     個；

②所畫的長方形中哪個周長最��？為什么？

【拓展延伸】 已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊滿足a ＜b ＜ c ，畫其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH , 使E、F兩點在邊BC上，G、H分別在邊AC、AB上，同樣還可畫AC、AB邊上的內(nèi)接正方形，問哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大？為什么？

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案