Question

17．已知∠ACD=90°，MN是過A點的直線，AC=DC，DB⊥MN于點B，連接BC．
（1）如圖1，將△BCD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ECA．
①求證：點E在直線MN上；
②猜想線段AB、BD、CB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（2）當MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，猜想線段AB、BD、CB又滿足怎樣的數(shù)列關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）①由四邊形內(nèi)角和定理得出∠CAB+∠CDB=180°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ECA≌△BCD，得出∠EAC=∠BDC，因此∠CAB+∠EAC=180°，即可得出結(jié)論；
②證出△ECB為等腰直角三角形，由勾股定理得出BE=$\sqrt{2}$BC，再由BE=AE+AB，AE=BD，即可得出結(jié)論；
（2）過點C作CE⊥CB與MN交于點E，則∠ECB=90°，∠ACE=∠DCB，證出∠CAE=∠CDB，由ASA證明△ACE≌△DCB，得出AE=DB，EC=BC，證出△ECB為等腰直角三角形，由勾股定理得出EB=$\sqrt{2}$BC，即可得出結(jié)論．

解答 （1）①證明：∵DB⊥MN，
∴∠ABD=90°，在四邊形ACDB中，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠CAB+∠CDB=180°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ECA≌△BCD，
∴∠EAC=∠BDC，
∴∠CAB+∠EAC=180°，
∴點E在直線MN上；
②解：AB+BD=$\sqrt{2}$BC，理由如下：
∵∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠BCD=90°，
由①知∠ECA=∠BCD，EC=BC，
∴∠ECB=∠ECA+∠ACB=90°，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$BC，
∵BE=AE+AB，
由①知AE=BD，
∴AB+BD=$\sqrt{2}$BC；
（2）解：AB-BD=$\sqrt{2}$BC，理由如下：
過點C作CE⊥CB與MN交于點E，如圖2所示：
則∠ECB=90°，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
∵DB⊥AB，
∴∠CAE=∠CDB，
在△ACE和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠DCB}&{\;}\\{AC=DC}&{\;}\\{∠CAE=∠CDB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，EC=BC，
∴EB=AB-AE=AB-DB，△ECB為等腰直角三角形，
∴EB=$\sqrt{2}$BC，
∴AB-BD=$\sqrt{2}$BC．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要通過作輔助線證明三角形全等才能得出結(jié)果．