Question

已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E在AB上，DE⊥CE，DE延長線交BC延長線于F．
（1）當(dāng)E為FD中點時，CD=10，求AB的長；
（2）若AB=8，設(shè)CE=x，AD=y，試用x代數(shù)式表示y．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AE=BE，AD=BF，進而利用勾股定理得出AB的長；
（2）利用已知首先得出△ADE∽△BEC，進而求出AD與x的關(guān)系即可．

解答：解：（1）如圖所示：當(dāng)E是DF中點時，EF=DE，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠ABF，
在△ADE和△BFE中，

∠A=∠EBF ∠AED=∠BEF DE=EF

，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴AE=BE，AD=BF，
∵DE⊥CE，
∴△DCF是等腰三角形，
∴DC=CF=10，
設(shè)AB=AC=2a，則AE=BE=a，AD=10-2a，
在Rt△ADE中：DE²=AD²+AE²=（10-2a）²+a²=5a²-40a+100，
在Rt△DCE中：CE²=CD²-DE²=10²-（5a²-40a+100）=40a-5a²①，
在Rt△BCE中：CE²=BE²+BC²=a²+（2a）²=5a²②，
聯(lián)立①②得：10a²-40a=0，
解得：a₁=4，a₂=0（不合題意舍去），
故a=4，
則AB=2a=8；

（2）根據(jù)題意可得：AB=BC=8，
故BE=

CE2-BC2

=

x2-64

，
∵∠DAE=∠CBE=∠DEC=90°，
∴∠AED+∠ADE=∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC
∴△ADE∽△BEC，
∴

AD

BE

=

AE

BC

=

AB-BE

BC

，
∴AD=y=

BE(AB-BE)

BC

=

x2-64 (8- x2-64 )

8

=

x2-64

-

x2-64

8

=-

1

8

x²+

x2-64

+8（8＜x＜8

2

）．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，得出△ADE∽△BEC是解題關(guān)鍵．