Question

兩個(gè)長為2cm，寬為1cm的長方形，擺放在直線l上（如圖①），CE=2cm，將長方形ABCD繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，將長方形EFGH繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度．

（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)D、H重合時(shí)，連接AE、CG，求證：△AED≌△GCD（如圖②）．
（2）當(dāng)α=45°時(shí)（如圖③），求證：四邊形MHND為正方形．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),正方形的判定

專題：幾何綜合題

分析：（1）由全等三角形的判定定理SAS證得：△AED≌△GCD（如圖②）；
（2）通過判定四邊形MHND四個(gè)角是90°，且鄰邊DN=NH來判定四邊形MHND是正方形．

解答：證明：（1）如圖②，∵由題意知，AD=GD，ED=CD，∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE，即∠ADE=∠GDC，
在△AED與△GCD中，

AD=GD ∠ADE=∠GDC ED=CD

，
∴△AED≌△GCD（SAS）；

（2）如圖③，∵α=45°，BC∥EH，
∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE，
∴∠CNE=90°，
∴∠DNH=90°，
∵∠D=∠H=90°，
∴四邊形MHND是矩形，
∵CN=NE，
∴DN=NH，
∴矩形MHND是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定以及正方形的判定的方法．（旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．正方形的判定的方法：兩鄰邊相等的矩形是正方形．）