Question

【題目】（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的OA邊在軸上，OC邊在軸上，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)O、B同時(shí)出發(fā)，以1單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)），過點(diǎn)N作NP∥AB交AC于點(diǎn)P，連結(jié)MP．

（1）直接寫出OA、AB的長度；

（2）試說明△CPN∽△CAB；

（3）在兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)求出ΔMPA的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）在運(yùn)動(dòng)過程中，△MPA的面積S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出當(dāng)為何值時(shí)有最大值，并求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）OA=4，AB=3；（2）證明見解析；（3）；（4）存在，當(dāng)=2時(shí)有最大值，最大值為．

【解析】試題分析：（1）由矩形的性質(zhì)，以及B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），可直接的出OA、AB的長度；

（2）根據(jù)過點(diǎn)N作NP∥AB交AC于點(diǎn)P，直接可得出三角形相似；

（3）用t表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得出S的關(guān)系式；

（4）利用公式可直接得出當(dāng)t=﹣=2時(shí)，二次函數(shù)有最大值．

試題解析：解：（1）∵矩形ABCO的OA邊在x 軸上，OC邊在y軸上，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），∴OA=4，AB=3；

（2）∵NP∥AB，∴△CPN∽△CAB；

（3）∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4﹣t，求出CA的直線為，代入P的橫坐標(biāo)得到P的縱坐標(biāo)， ，所以P的坐標(biāo)為（4﹣t， ），∴S△MPA=MA×yP÷2= ×（4﹣t）×= ，t≤4；

（4）由S關(guān)于t的函數(shù)，當(dāng)t=﹣=2時(shí)，二次函數(shù)有最大值=．