Question

（1）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，且∠FAE＝∠EAD，求證：EF⊥AE．

（2）若將（1）中的“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”，其它條件不變，則是否仍有“EF⊥AE”的結(jié)論．若結(jié)論都成立，選取一種畫出圖形，并簡(jiǎn)單說明理由，若不成立，也請(qǐng)畫圖說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．  …………1分

     ∵ 四邊形ABCD是正方形，

     ∴ AD∥CG，∠D＝∠BCD＝∠DCG，

     ∴ ∠DAE＝∠G

     ∵ ∠FAE＝∠EAD，

     ∴ ∠FAE＝∠G

     ∴ AF＝FG         …………3分

     ∵ E是DC的中點(diǎn)

     ∴ DE＝EC，

     ∵ ∠AED＝∠GEC

     ∴ △AEF≌△GEF （ASA）

     ∴ AE＝EG，

     ∴ EF⊥AE．   …………5分

（2）若將（1）中的“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”，其它條件不變，結(jié)論“EF⊥AE”仍然成立．例如：“任意平行四邊形”    …………6分

        …………8分

如圖，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于G，由AD∥BC，及E是DC的中點(diǎn)，可得△ADE≌GCE，得AE＝EG，同（1）一樣可得△AFG是等腰三角形，于是得FE⊥AG．…………9分