Question

如圖，點(diǎn)P是銳角△ABC的BC邊上的動點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，連接DE．若∠A=60°，BC=5，△ABC的面積等于10，則DE的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題,垂線段最短,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：首先作出P關(guān)于AB、AC的對稱點(diǎn)P′，P″，利用對稱的性質(zhì)得出，△PP′P″形狀不變，大小與AP有關(guān)，當(dāng)DE最小時(shí)AP最小，當(dāng)AP為△ABC的高時(shí)，AP最小，進(jìn)而利用勾股定理求出即可．

解答：解：作P關(guān)于AB、AC的對稱點(diǎn)P′，P″，
根據(jù)題意得出：D為PP′中點(diǎn)，E為PP″中點(diǎn)，AP=AP′，AP=AP″，∠P′AB=∠BAP，∠PAE=∠EAP″，
∴∠P′AP″=2∠BAC=120°，∠AP′P″=30°，
∴△AP′P″形狀不變，大小與AP有關(guān)，
當(dāng)DE最小時(shí)AP最小，當(dāng)AP為△ABC的高時(shí)，AP最小，
∵BC=5，△ABC的面積等于10，
∴△ABC的高為4，即AP的最小值為4，
∵D為PP′中點(diǎn)，E為PP″中點(diǎn)，
∴DE是△PP′P″中位線，
∵△AP′P″的邊P″P′上的高AM為：AM=AP′sin30°=

1

2

AP′=2，
∴P′M=2

3

，
∴P′P″=4

3

，
∴DE=2

3

．
故答案為：2

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查了利用軸對稱求最值問題，根據(jù)已知得出AP最小時(shí)DE及最小是解題關(guān)鍵．