Question

如圖1,已知直線y=kx與拋物線               交于點A（3，6）.

（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；

（2）點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點,過點P作直線PM, 交x軸于點M（點M、O不重合）,交直線OA于點Q,再過點Q作直線PM的垂線,交y軸于點N.試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是,求出這個定值,如果不是,說明理由；

（3）如圖2,若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點,點E在線段OA上（與點O、A不重

合）,點D（m，0）是x軸正半軸上的動點,且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD.繼續(xù)探

究：m在什么范圍時,符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個？

 

Answer 1

解：（1）把點A（3,6）代入y=kx 得6=3k   ∴k=2       ∴y=2x 

OA= 

（2）是一個定值 ，理由如下：

過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H .

①當(dāng)QH與QM重合時，顯然QG與QN重合,

此時；

②當(dāng)QH與QM不重合時，∵QN⊥QM,QG⊥QH

不妨設(shè)點H，G分別在x、y軸的正半軸上

∴∠MQH =∠GQN    又∵∠QHM=∠QGN=90°∴△QHM∽△QGN   

∴

當(dāng)點P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得        

（3）延長AB交x軸于點F，過點F作FC⊥OA于點C，過點A作AR⊥x軸于點R

∵∠AOD=∠BAE   ∴AF=OF    ∴OC=AC=OA= 

∵∠ARO=∠FCO=90°   ∠AOR=∠FOC

∴△AOR∽△FOC  ∴  

∴OF=    ∴點F（，0）

設(shè)點B（x，），過點B作BK⊥AR于點K，則△AKB∽△ARF

∴ 即   解得x₁=6 ,x₂=3（舍去）

∴點B(6,2)         

∴BK=6－3=3  AK=6－2=4     ∴AB=5         …8分

(求AB也可采用下面的方法)

設(shè)直線AF為y=kx＋b（k≠0） 把點A（3,6），點F（，0）代入得

k=，b=10      ∴

 ∴（舍去）  ∴B（6,2）∴AB=5   …8分

(其它方法求出AB的長酌情給分)

在△ABE與△OED中

∵∠BAE=∠BED    ∴∠ABE＋∠AEB=∠DEO＋∠AEB   ∴∠ABE=∠DEO

∵∠BAE=∠EOD    ∴△ABE∽△OED 

設(shè)OE=x，則AE=－x （）   由△ABE∽△OED得 

∴ ∴ （）…10分

∴頂點為（，）

如圖，當(dāng)時，OE=x=,此時E點有1個；當(dāng)時，任取一個m的值都對應(yīng)著兩個x值，此時E點有2個.

∴當(dāng)時，E點只有1個 

當(dāng)時，E點有2個