Question

如圖，規(guī)格為60cm×60cm的正方形地磚在運(yùn)輸過(guò)程中受損，斷去一角，量得AF=30cm，CE=45cm，現(xiàn)準(zhǔn)備從五邊形地磚ABCDE上截出一個(gè)面積為S的矩形地磚PMBN，則S最大值是（ ）

A．1800
B．2700
C．2812
D．3375

Answer 1

【答案】分析：首先設(shè)矩形PNBM的邊BN=xcm，NP=ycm，可得矩形PNBM的面積S=xy（30≤x≤60），然后過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CD于G，利用相似三角形的性質(zhì)，易求得y=-x+75，然后又二次函數(shù)的最值問(wèn)題，求得答案．
解答：解：設(shè)矩形PNBM的邊BN=xcm，NP=ycm，
則矩形PNBM的面積S=xy（30≤x≤60），
∴CN=（60-x）cm，AM=（60-y）cm，
∵AF=30cm，CE=45cm，
∴ED=15cm，DF=30cm，
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CD于G，
∴PG∥DF，
∴△PEG∽△FED，
∴，
即：，
∴，
∴y=-x+75，
∴S=xy=-x²+75x（30≤x≤60），
∵此二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=75，
∴當(dāng)x≤75時(shí)，函數(shù)值是隨x的增大而增大，
對(duì)30≤x≤60來(lái)說(shuō)，當(dāng)x=60時(shí)，S有最大值，
S_最大=-×60²+75×60=2700（cm²）．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．