Question

如圖①，有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點A與點E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜邊上的中點．

如圖②，若整個△EFG從圖①的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在△EFG 平移的同時，點P從△EFG的頂點G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停止運動，△EFG也隨之停止平移．設運動時間為x（s），F(xiàn)G的延長線交 AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm²)（不考慮點P與G、F重合的情況）．

（1）當x為何值時，OP∥AC ?

（2）求y與x 之間的函數(shù)關系式，并確定自變量x的取值范圍．

（3）是否存在某一時刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24？若存在，

求出x的值；若不存在，說明理由．

（參考數(shù)據(jù)：114² ＝12996，115² ＝13225，116² ＝13456，或4.4² ＝19.36，4.5² ＝20.25，4.6² ＝21.16）

Answer 1

解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，

∴， ．∴FG＝＝3cm．

∵當P為FG的中點時，OP∥EG ，EG∥AC ，∴OP∥AC．

∴ x ＝＝×3＝1.5（s）．∴當x為1.5s時，OP∥AC

（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm．

∵EG∥AH ，∴△EFG∽△AFH ．

∴．∴

∴

過點O作OD⊥FP ，垂足為 D ．

∵FP＝3－x ，

∴S_{四邊形OAHP} ＝S_△AFH －S_△OFP

＝?AH?FH－?OD?FP

＝

＝

（3）假設存在某一時刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24．

則S_{四邊形OAHP}＝×S_△ABC    ∴

∴6x²＋85x－250＝0

解得 x₁＝， x₂＝ （舍去）．

∵0＜x＜3，

∴當x＝ 時，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24