Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在坐標軸上，且AO=4，AB=8，∠ABO=30°．動點P在線段AB上從點A向點B以每秒1個單位的速度運動，設(shè)動點P運動時間為t秒．在x軸上取兩點M、N，使△PMN為等邊三角形．
（1）直接寫出A點的坐標；
（2）如圖1，當(dāng)?shù)冗叀鱌MN的頂點M與原點O重合時，求PM的長；
（3）設(shè)等邊△PMN的邊長為a（如圖2），當(dāng)1≤t≤5時，求的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）A點的坐標是（0，4）．

（2）在△AOB中，AB=8，AO=4，由勾股定理得：BO=4，
∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴∠OAB=180°-90°-30°=60°，
∵等邊三角形PMN，
∴∠PMN=60°，
∴∠AOP=90°-60°=30°，
∴∠APM=180°-∠BAO-∠AOP=90°=∠AOB，
∵∠OAB=∠OAB，
∴△APO∽△AOB，
∴=，
=，
∴PM=2，
答：PM的長是2．

（3）∵等邊三角形PMN，
∴PM=MN=PN，∠PNM=∠PMN=60°，
∵∠ABO=30°，
∴∠NPB=60°-30°=30°=∠ABO，
∴PN=BN=MN=a，
∵∠PMN=60°=∠OAB，∠ABO=∠ABO，
∴△MPB∽△AOB，
∴=，
即=，
解得：a=-t，
∴y=a²-t²=-t²=-t+，
∵k=-＜0，
∴y隨t的增大而減小，
∵1≤t≤5，
∴當(dāng)t=1時，y的最大值是：y=-×1+=16；
當(dāng)t=5時，y的最小值是：y=-×5+=-；
答：當(dāng)1≤t≤5時，求的最大值和最小值分別是16，-．
分析：（1）直接寫出A坐標即可；
（2）求出△APO∽△AOB，得到比例式，代入求出即可；
（3）證BN=PN=MN=a，證△MPB∽△AOB，得到比例式，求出a=-t，代入y求出y=-t+，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出即可．
點評：本題主要考查對一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的最值，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能正確運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．