Question

（1）如圖1，在△ABC中，點D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P，求證：=；
（2）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點．
①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；
②如圖3，求證：MN²=DM•EN．

Answer 1

【答案】分析：（1）可證明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，從而得出=；
（2）①根據(jù)三角形的面積公式求出BC邊上的高，根據(jù)△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的邊長，根據(jù)等于高之比即可求出MN；
②可得出△BGD∽△EFC，則DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF²=CF•BG，再根據(jù)（1）==，從而得出答案．
解答：（1）證明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴=，
同理在△ACQ和△APE中，
=，
∴=．

（2）①作AQ⊥BC于點Q．
∵BC邊上的高AQ=，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD=，DE=，
∵DE邊上的高為，MN：GF=：，
∴MN：=：，
∴MN=．
故答案為：．

②證明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴=，
∴DG•EF=CF•BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF²=CF•BG，
由（1）得==，
∴×=•，
∴（）²=•，
∵GF²=CF•BG，
∴MN²=DM•EN．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，是一道綜合題目，難度較大．