Question

（2008•武漢模擬）如圖1，直線y=

3

3

x+（2+

3

）分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，C，點(diǎn)B為線段AC中點(diǎn)，連接OB，將△BOC折疊，使點(diǎn)B落在邊OC上點(diǎn)F處，折痕為DE，EF∥x軸．

（1）求點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）若經(jīng)過點(diǎn)E，F(xiàn)的拋物線與x軸交于點(diǎn)G，H，且點(diǎn)G坐標(biāo)為（

3

，0），求該拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中拋物線上（x軸下方）一點(diǎn)（圖2），PF交x軸于N，問是否存在使S_△GFN≥

1

3

S_△GFP的點(diǎn)P？若存在，請求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后判斷出∠ACO=60°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OB=BC，從而得到△BOC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的每一個角都是60°，∠EOF=60°，設(shè)OF=x，然后表示出EF、OE，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，BE=EF，然后根據(jù)OB的長度列出方程求解即可得到x的值，然后即可求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把點(diǎn)E、F、G的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（3）先求出拋物線與x軸的另一交點(diǎn)H的坐標(biāo)，再根據(jù)△GFP分成△GFN與△GNP兩部分，因?yàn)辄c(diǎn)F的縱坐標(biāo)為1，只要是點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對值小于2即可滿足，然后求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為-2時的x的值，再結(jié)合圖形求解即可．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時，

3

3

x+（2+

3

）=0，
解得x=-2

3

-3，
當(dāng)x=0時，y=2+

3

，
∴點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為A（-2

3

-3，0），C（0，2+

3

），
∴OA=2

3

+3，OC=2+

3

，
∵tan∠ACO=

OA

OC

=

2 3 +3

2+ 3

=

3

，
∴∠ACO=60°，
∴AC=2OC=2（2+

3

），
∵點(diǎn)B為線段AC中點(diǎn)，
∴OB=BC=

1

2

AC=2+

3

，
∴△BOC是等邊三角形，∠EOF=60°，
設(shè)OF=x，∵EF∥x軸，
∴EF=OF•tan60°=

3

x，
OE=2OF=2x，
∵△BDE沿DE折疊得到△FDE，
∴BE=EF=

3

x，
∴OB=2x+

3

x=2+

3

，
解得x=1，
∴

3

x=

3

，2x=2，
所以，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為E（-

3

，1），F(xiàn)（0，1）；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

3a- 3 b+c=1 c=1 3a+ 3 b+c=0

，
解得

a=- 1 6 b=- 3 6 c=1

，
所以，拋物線解析式為y=-

1

6

x²-

3

6

x+1；

（3）存在．理由如下：
如圖，令y=0，則-

1

6

x²-

3

6

x+1=0，
解得x₁=

3

，x₂=-2

3

，
所以，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-2

3

，0），
∵S_△GFN≥

1

3

S_△GFP，△GFP=△GFN+△GNP，
∴S_△GNP≤2S_△GFN，
∵GN是△GFN與△GNP公共底邊，
∴點(diǎn)P到GN的距離小于等于點(diǎn)F到GN的距離即可，
∵點(diǎn)F到GN的距離等于1，
∴點(diǎn)P到x軸的距離小于等于2，
又∵點(diǎn)P在x軸下方，
∴當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2時，-

1

6

x²-

3

6

x+1=-2，
整理得，x²+

3

x-18=0，
解得x₁=2

3

，x₂=-3

3

，
結(jié)合圖形可得，當(dāng)-3

3

≤x＜-2

3

或

3

＜x≤2

3

時，S_△GFN≥

1

3

S_△GFP．

點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，（3）把三角形的面積轉(zhuǎn)化成利用點(diǎn)的縱坐標(biāo)的關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵．