Question

已知在△ABC和△DBE中，AB=AC，DB=DE，且∠BAC=∠BDE．
（1）如圖1，若∠BAC=∠BDE=60°，則線段CE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是________；
（2）如圖2，若∠BAC=∠BDE=120°，且點D在線段AB上，則線段CE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是________；
（3）如圖3，若∠BAC=∠BDE=α，請你探究線段CE與AD之間的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示），并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）CE=AD；

（2）CE=AD．
理由：過點A作AM⊥BC于M，過點D作DN⊥BC于N，
∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=120°
∴∠B=30°，BN=EN，BM=CM，
∴cos∠B==，
∴BE=BD，BC=AB，
∵∠BDE=∠BAC，
∴DE∥AC，
∴，
∴，
∴CE=AD．

（3）CE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是CE=2sinAD．
證明：∵AB=AC，DB=DE，
∴=．
∵∠BAC=∠BDE，
∴△ABC∽△DBE．
∴=，∠ABC=∠DBE，
∴=，∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴=，
過點D作DF⊥BE于點F．
∴∠BDF=∠BDE=，
∴BE=2BF=2BD•sin∠BDF=2BD•sin，
∴=，
∴CE=2sinAD．
分析：（1）由題意易證得△ABD≌△CBE，由全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可求得即可求得線段CE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是CE=AD；
（2）首先過點A作AM⊥BC于M，過點D作DN⊥C于N，即可得∠B=30°，由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得BC=AB，又由∠BDE=∠BAC證得DE∥AC，由平行線分線段成比例定理即可求得CE=AD；
（3）首先由AB=AC，DB=DE，可得=．則可得ABC∽△DBE，然后又可求得△ABD∽△CBE，則=，然后過點D作DF⊥BE于點F．由三角函數(shù)的性質(zhì)即可得CE=2sinAD．
點評：此題考查了相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)的性質(zhì)以及比例變形等知識．此題綜合性很強，解題的關(guān)鍵數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．