Question

如圖1，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，分別以AC、BC為邊在線(xiàn)段AB的同側(cè)作正方形ACDE和BCMN，連結(jié)AM、BD．
（1）AM與BD有怎樣的關(guān)系？為什么？
（2）如果將正方形BCMN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角α，其它不變（如圖2）．（1）中所得的結(jié)論是否仍
然成立？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)和已知條件證明△AMC≌△DBC，從而求出AM=BD；
（2）如果將正方形BCMN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角α，其它不變（1）中所得的結(jié)論任然成立，先求出∠ACM=∠DCB，然后利用“邊角邊”證明△AMC和△DBC全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．

解答：（1）∵四邊形ACDE和四邊形BCMN都為正方形，
∴AC=DC，∠ACD=∠BCD=90°，BC=CM，
在△AFC和△DBC中，

AD=DC ∠ACM=∠DCB BC=CM

，
∴△AMC≌△DBC（SAS）．
∴AM=BD；
（2）如果將正方形BCMN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角α，其它不變（1）中所得的結(jié)論任然成立，
理由如下：
AM=BD仍然成立．
理由如下：在正方形ABCE和正方形BCMN中，AB=CD，CM=BC，∠ACD=∠DCB=90°，
∵∠ACM=90°-∠MCD，
∠DCB=90°-∠MCD，
∴∠ACM=∠CDCB，
在△ACM和△DCB中，

AC=CD ∠ACM=∠DCB CM=BC

，
∴∴△AMC≌△DBC（SAS）．
∴AM=BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，熟練利用正方形的性質(zhì)得出是解題的關(guān)鍵．