Question

如圖，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為等腰Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝CA．

（1）求證：DE平分∠BDC；

（2）連結(jié)BE，設(shè)DC＝a，求BE的長(zhǎng).

 

Answer 1

【答案】

（1）∵在等腰Rt△ABC中，∠CAD＝∠CBD＝15^o，

∴∠1＝∠2＝45°－15^o ＝30^o，∴AD＝BD，

又BC＝AC, DC公共∴△BDC≌△ADC（SSS）

∴∠3＝∠4＝45^o．

∴∠CDE＝15^o＋45^o＝60°

又∠BDE＝30^o＋30^o＝60°，∴DE平分∠BDC

(注：證△全等，必須先證AD＝BD，也可以SAS，)

（2）∵CE＝CA，∴等腰△ACE中∠ACE＝150°，∴∠5＝150°－90°＝60°，

又CE＝CA＝BC，∴△BCE為正三角形，BE＝AC

由等腰Rt△ABC性質(zhì)，延長(zhǎng)CD交AB于F，則△ADF為Rt△，設(shè)DF＝x,

在Rt△ADF中，∠1＝30^o，則有，解得 （舍去負(fù)值），

∴BE＝AC＝＝＝

【解析】（1）先證得AD=BD，得△BDC≌△ADC，進(jìn)而求出∠CDE＝60°，易得∠BDE＝60°，所以DE平分∠BDC；

（2）延長(zhǎng)CD交AB于F，則△ADF為Rt△，利用勾股定理求解即可。