Question

15．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（3k+1）x+2k²+2k=0
（1）求證：無論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰△ABC的一邊長a=6，另兩邊長b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此三角形的三邊長？

Answer 1

分析 （1）計(jì)算方程的根的判別式，若△=b²-4ac≥0，則證明方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）已知a=6，則a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出△ABC的周長．注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢驗(yàn)．

解答 （1）證明：∵△=b²-4ac=（3k+1）²-4（2k²+2k）=9k²+6k+1-8k²-8k=k²-2k+1=（k-1）²≥0
∴無論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）解：①若a=6為底邊，則b，c為腰長，則b=c，則△=0．
∴（k-1）²=0，解得：k=1．
此時(shí)原方程化為x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，即b=c=2．
此時(shí)△ABC三邊為6，2，2不能構(gòu)成三角形，故舍去；
②若a=b為腰，則b，c中一邊為腰，不妨設(shè)b=a=6，
代入方程：6²-6（3k+1）+2k²+2k=0，
解得k=3或5，
則原方程化為x²-10x+24=0或x²-16x+60=0，
解得x₁=4，x₂=6或x₁=6，x₂=10，
即b=6，c=4，或b=6，c=10，
此時(shí)△ABC三邊為6，6，4或6，6，10能構(gòu)成三角形，
周長為6+6+4=16或6+6+10=22．

點(diǎn)評 本題考查了根的判別式及三角形三邊關(guān)系定理，注意求出三角形的三邊后，要用三邊關(guān)系定理檢驗(yàn)，此題很容易漏解．