(2011•沙縣質(zhì)檢)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD的周長為16,邊OA比OC長2.點E為邊BC的中點,以O(shè)E為直徑的⊙M交x軸于點D,過點D作DF⊥AE于點F.
(1)求OA、OC的長;
(2)請判斷直線DF與⊙M的位置關(guān)系,并加以說明;
(3)小明在解答本題時發(fā)現(xiàn)△AOE是等腰三角形,他斷定;“直線BC上一定存在除點E以外的點P.使得△AOP也是等腰三角形”,你同意他的看法嗎?若同意,求出這樣的點P的坐標(biāo);若不同意,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)推出OC=AB,OA=CB,代入求出即可;
(2)連接MD,ED,根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形全等的判定定理SAS推出△OCE≌△ABE,推出OE=EA,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠MDO=∠EAO,根據(jù)平行線的判定推出MD∥AE,得到DF⊥AE即可;
(3)①當(dāng)OA=AP時,以點A為圓心,以AO為半徑畫弧,交BC于P1、P2兩點,作P1H⊥OA于H,求出P1H、AP1的值,求出OH=1,即可求出P1、P2的坐標(biāo)②當(dāng)OA=OP時,同法可求P3、P4的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵矩形ABCO,
∴OC=AB,OA=CB,
∵OA=OC+2,
∴OC=3,OA=5.

(2)直線DF與⊙M的位置關(guān)系是:相切,
理由是:連接MD,ED.
∵矩形ABCO,
∴OC=AB,∠OCB=∠ABE=90°,
在△OCE和△ABE中
OC=AB
∠OCB=∠ABC
CE=BE
,
∴△OCE≌△ABE,
∴OE=EA,
∴∠EOA=∠EAO,
∵M(jìn)O=MD,
∴∠MOD=∠MDO,
∴∠MDO=∠EAO,
∴MD∥AE,
∵DF⊥AE,
∴DF⊥MD,
∴直線DF與⊙M的位置關(guān)系是相切.

(3)同意,理由如下:
①當(dāng)OA=AP時,以點A為圓心,以AO為半徑畫弧,交BC于P1、P2兩點,作P1H⊥OA于H,P1H=OC=3,AP1=OA=5,∴OH=1,
因此P1(1,3),P2(9,3);
②當(dāng)OA=OP時,同法可求P3(4,3),P4(-4,3).
因此在直線BC上,除了E點外,即存在⊙M內(nèi)的點P1,又存在⊙M外的點P2、P3、P4,它們分別使△AOP是等腰三角形.
點評:本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定,平行線的性質(zhì)和判定,矩形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,切線的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識點的綜合運用,題目綜合性比較強,有一定的難度,對學(xué)生提出了較高的要求.分類討論思想的運用.
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(1)請把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)在這次抽樣調(diào)查中,抽取了
50
50
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B
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72°
72°
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