Question

15．如圖，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AC⊥DE于點(diǎn)F，連AE，BD，點(diǎn)M、N分別是AE、BD的中點(diǎn)，連FM、FN．

（1）當(dāng)α=90°，如圖1，∠MFN=90°，$\frac{FM}{FN}$=1，并證明；
（2）當(dāng)α=60°，如圖2，∠MFN=60°，$\frac{FM}{FN}$=1，并證明．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形MHFN是菱形，利用△ECB≌△DCA得∠CAD=∠CBE，再利用“8字型”證明∠AOB=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證明∠MFN=90°即可．
（2）先證明四邊形MHFN是菱形，利用△ECB≌△DCA得∠CAD=∠CBE，再利用“8字型”證明∠AOB=60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證明∠MFN=60°即可．

解答 （1）解：如圖1中，延長(zhǎng)EC交AB于H，連接MH，HN，EB．
∵CE=CD，AF⊥DE，∠ECD=90°，
∴∠ECF=∠DCF=45°，EF=FD，
∵∠ACB=90°，∠ECF=∠ACH=45°，AC=BC，
∴∠ACH=∠BCH，AH=HB，
∴EH⊥AB，
∴EA=EB，
∵DF=FE，DN=NB，
∴FN∥EB，F(xiàn)N=$\frac{1}{2}$EB，
∵EM=AM，
∴MH=MF=$\frac{1}{2}$AE，
又∵M(jìn)F=$\frac{1}{2}$AD，HN=$\frac{1}{2}$AD，
∴MF=HN=FN=MH，
∴四邊形MHFN是菱形，
∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠ACD，
在△ECB和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠ECB=∠DCA}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△DCA，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAJ+∠CJA=90°，∠CJA=∠OJB，
∴∠OJB+∠JBO=90°，
∴∠JOB=90°，
∵FN∥EB，MF∥AD，
∴∠JOB=∠OKN=∠MFN=90°，$\frac{FM}{FN}=1$，
故答案分別為90°，1．
（2）如圖2中，
如圖1中，延長(zhǎng)EC交AB于H，連接MH，HN，EB．
∵AC=CB，EC=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴△ACB，△ECD都是等邊三角形，
∵CE=CD，AF⊥DE，∠ECD=60°，
∴∠ECF=∠DCF=30°，EF=FD，
∵∠ACB=60°，∠ECF=∠ACH=30°，AC=BC
∴∠ACH=∠BCH，AH=HB
∴EH⊥AB，
∴EA=EB，
∵DF=FE，DN=NB，
∴FN∥EB，F(xiàn)N=$\frac{1}{2}$EB，
∵EM=AM
∴MH=MF=$\frac{1}{2}$AE，
又∵M(jìn)F=$\frac{1}{2}$AD，HN=$\frac{1}{2}$AD
∴MF=HN=FN=MH，
∴四邊形MHFN是菱形，
∵∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠ECB=∠ACD，
在△ECB和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠ECB=∠DCA}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△DCA，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAJ+∠CJA=180°-∠ACB=120°°，∠CJA=∠OJB，
∴∠OJB+∠JBO=120°，
∴∠JOB=60°，
∵FN∥EB，MF∥AD，
∴∠JOB=∠OKN=∠MFN=60°，$\frac{FM}{FN}=1$，
故答案分別為60°，1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形的性質(zhì)，、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形再利用“8字型”證明90°或60°．