Question

如圖，AD是△ABC的中線，P為AD上任意一點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)，交AC于F，連接CP并延長(zhǎng)，交AB于E，連接EF．求證：EF∥BC．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線分線段成比例

專題：證明題

分析：延長(zhǎng)PD到M，使DM=PD，連接BM、CM．由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形BPCM是平行四邊形，于是BP∥MC，即PF∥MC，再根據(jù)平行線分線段成比例定理1的推論得出AF：AC=AP：AM，同理AE：AB=AP：AM，等量代換得到AE：AB=AF：AC，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理2即可證明EF∥BC．

解答：證明：如圖，延長(zhǎng)PD到M，使DM=PD，連接BM、CM．
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
∵DM=PD，
∴四邊形BPCM是平行四邊形，
∴BP∥MC，即PF∥MC，
∴AF：AC=AP：AM，
同理AE：AB=AP：AM，
∴AE：AB=AF：AC，
∴EF∥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線分線段成比例定理：
（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
（2）定理2：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．
（3）定理3：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．