Question

如圖，拋物線與直線都經(jīng)過坐標軸的正半軸上A（4，0），B兩點，該拋物線的對稱軸x=-1，與x軸交于點C，且∠ABC=90°，求：
（1）直線AB的解析式；   
（2）拋物線的解析式．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

專題：計算題

分析：（1）先證明Rt△CBO∽Rt△BAO，利用相似比計算出OB=2，則B點坐標為（2，0），然后利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式；
（2）先利用對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-6，0），則可設交點式y(tǒng)=a（x+6）（x-4），然后把B點坐標代入求出a即可．

解答：解：（1）∵A點坐標為（4，0），C點坐標為（-1，0），
∴OA=4，OC=1，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBO=∠BAO，
∴Rt△CBO∽Rt△BAO，
∴OB：OA=OC：OB，即OB：4=1：OB，
∴OB=2，
∴B點坐標為（2，0），
設直線AB的解析式為y=mx+n，
把A（4，0）、B（0，2）代入得

4m+n=0 n=2

，解得

m=- 1 2 n=2

，
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+2；
（2）∵該拋物線的對稱軸x=-1，
而A點坐標為（4，0），
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-6，0），
設拋物線的解析式為y=a（x+6）（x-4），
把B（0，2）代入得a•6•（-4）=2，解得a=-

1

12

，
所以拋物線的解析式為y=-

1

12

（x+6）（x-4）=-

1

12

x²-

1

6

x+2．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．