Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx﹣4a經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．

（1）求拋物線和直線BC的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，是否存在使△PBC面積最大的點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3，若拋物線的對(duì)稱軸EF（E為拋物線頂點(diǎn)）與直線BC相交于點(diǎn)F，M為直線BC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥EF交拋物線于點(diǎn)N，以E，F，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式：y=﹣x2+3x+4．（2）存在，當(dāng)P（2，6）時(shí)，△PCB的面積最大；（3）存在，點(diǎn)N坐標(biāo)為（，）、（，），（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax2+bx﹣4a經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，列出a和b的二元一次方程組，求出a和b的值，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可求出直線BC的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，設(shè)P（x，﹣x2+3x+4），則Q（x，﹣x+4）；求出PQ的長(zhǎng)，利用S△PCB=PQOB列出S關(guān)于x的二次函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）首先求出EF的長(zhǎng)，設(shè)N（x，﹣x2+3x+4），則M（x，﹣x+4），利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等列出x的一元二次方程，解方程求出x的值即可．

解：（1）依題意，有：，

解得．

∴拋物線的解析式：y=﹣x2+3x+4．

∴由B（4，0）、C（0，4）可知，直線BC：y=﹣x+4；

（2）由B（4，0）、C（0，4）可知，直線BC：y=﹣x+4；

如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，設(shè)P（x，﹣x2+3x+4），則Q（x，﹣x+4）；

∴PQ=（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+4）=﹣x2+4x；

S△PCB=PQOB=×（﹣x2+4x）×4=﹣2（x﹣2）2+8；

∴當(dāng)P（2，6）時(shí)，△PCB的面積最大；

（3）存在．

拋物線y=﹣x2+3x+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)E（，），

直線BC：y=﹣x+4；當(dāng)x=時(shí)，F（，），

∴EF=．

如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MN∥EF，交直線BC于M，設(shè)N（x，﹣x2+3x+4），則M（x，﹣x+4）；

∴MN=|（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+4）|=|﹣x2+4x|；

當(dāng)EF與NM平行且相等時(shí)，四邊形EFMN是平行四邊形，

∴|﹣x2+4x|=；

由﹣x2+4x=時(shí)，解得x1=，x2=（不合題意，舍去）．

當(dāng)x=時(shí)，y=﹣（）2+3×+4=，

∴N1（，）．

當(dāng)﹣x2+4x=﹣時(shí)，解得x=，

當(dāng)x=時(shí)，y=，

∴N2（，），

當(dāng)x=時(shí)，y=，

即N3（，），

綜上所述，點(diǎn)N坐標(biāo)為（，）、（，），（，）．