Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E．
（1）若∠CAB=65°，求∠D的度數(shù)；
（2）若AE=10，EB=2，且∠AEC=30°，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接BC，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；
（2）因?yàn)椤螦EC=30°，可過點(diǎn)O作OF⊥CD于F，構(gòu)成直角三角形，先求得⊙O的半徑為5cm，進(jìn)而求得OE=4，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出OF=$\frac{1}{2}$OE=2，再根據(jù)勾股定理求得DF的長(zhǎng)，然后由垂徑定理求出CD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠B=25°，
∴∠D=∠B=25°；

（2）連接OC，過點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F；
∵AE=10，BE=2，
∴OC=OA=6，OE=6-2=4；
∵∠AEC=30°，
∴OF=2，
由勾股定理得：CF²=OC²-OF²，
解得：CF=$\sqrt{21}$，
∴CD=2CF=2$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了垂徑定理、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的方法是作輔助線，構(gòu)造直角三角形；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用垂徑垂徑定理、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、解答．