Question

1．如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱(chēng)這個(gè)三角形為“好玩三角形”．
（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖①中畫(huà)一個(gè)以AB為邊的“好玩三角形”；
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，求證：△ABC是“好玩三角形”．

Answer 1

分析 （1）先作AB的垂直平分線得到AB的中點(diǎn)D，然后以D為端點(diǎn)任意畫(huà)線段CD=AB，再連結(jié)AC、BC，則△ACB滿足條件；
（2）取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)BD，如圖②，設(shè)AC=2x，則CD=AD=x，利用$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$得到BC=$\sqrt{3}$x，再在Rt△BCD中利用勾股定理計(jì)算出BD=2x，則BD=AC，然后根據(jù)“好玩三角形”即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：如圖①，△ABC為所作；

（2）證明：取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)BD，如圖②，

設(shè)AC=2x，則CD=AD=x，
∵$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=$\sqrt{3}$x，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}x）^{2}+{x}^{2}}$=2x，
∴BD=AC，
∴△ABC是“好玩三角形”．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．