Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面積S_△ABC=15，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使△MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明由．

Answer 1

解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
∴設|OB|=|OC|=5|OA|=5m，
∵S_△ABC=15，
∴（m+5m）×5m=15，
∴m=1，
∴|OB|=|OC|=5，
|OA|=1，
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點A（-1，0）B（5，0）C（0，-5），
設二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
把A（-1，0）B（5，0）C（0，-5）分別代入解析式得，
，
解得，
∴a=1，b=-4，c=-5，
∴y=x²-4x-5．

（2）設直線BC的解析式為y=kx+b，把（5，0），（0，-5）分別代入解析式得：
，
解得，
則一次函數(shù)解析式為y=x-5 即x-y-5=0，
設M的坐標為（n，n²-4n-5），
代入點到直線的距離公式得：=7，
整理得：①n²-5n+14=0，
∵△=25-56=-31＜0，
∴方程無解；
②n²-5n-14=0，
解得：n=-2或n=7．
故M點坐標為（-2，7），（7，16）．
分析：（1）根據|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面積S_△ABC=15，設|OB|=|OC|=5|OA|=5m，可得（m+5m）×5m=15，求出m的值，從而得到A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，根據二次函數(shù)解析式設出函數(shù)圖象上點的坐標，利用點到直線的距離公式列出關于n的方程，解答即可．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析式、三角形的面積求法、點到直線的距離公式等．計算量較大，涉及面較廣，要認真對待．