Question

26、如圖，AD是∠CAB的角平分線，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于點(diǎn)O．
請(qǐng)問：（1）DO是∠EDF的角平分線嗎？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．
（2）若將結(jié)論與AD是∠CAB的角平分線、DE∥AB、DF∥AC中的任一條件交換，所得命題正確嗎？

Answer 1

分析：（1）DE∥AB，DF∥AC得到平行四邊形AFDE，因?yàn)椤螮AD=∠FAD和DE∥AB，推出∠EAD=EDA，得出AE=DE，即可得到答案；
（2）①如和AD是∠CAB的角平分線交換，正確，理由與（1）證明過程相似；②如和DE∥AB交換，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FDA=∠EAD，根據(jù)AD是∠CAB的角平分線，DO是∠EDF的角平分線，推出∠EAF=∠EDF，由平行線的性質(zhì)得到∴∠AEF=∠DFE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠DEF=∠AFE，根據(jù)平行線的判定即可推出答案；③如和AE∥DF交換，正確理由與②類似．

解答：（1）DO是∠EDF的角平分線，
證明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四邊形AFDE是平行四邊形，
∵AD是∠CAB的角平分線，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=EDA，
∴AE=DE，
∴平行四邊形AFDE是菱形，
∴DO是∠EDF的角平分線．

（2）解：正確．
①如和AD是∠CAB的角平分線交換，正確，理由與（1）證明過程相似；
②如和DE∥AB交換，
理由是：∵DF∥AC，
∴∠FDA=∠EAD，
∵AD是∠CAB的角平分線，DO是∠EDF的角平分線，
∴∠EAD=∠FAD，∠EDA=∠FDA，
∴∠EAF=∠EDF，
∵AE∥DF，
∴∠AEF=∠DFE，
∵∠EDF+∠EFD+∠DEF=180°，∠EAF+∠AEF+∠AFE=180°，
∴∠DEF=∠AFE，
∴DE∥AB，正確．
③如和AE∥DF交換，正確理由與②類似．
答：若將結(jié)論與AD是∠CAB的角平分線、DE∥AB、DF∥AC中的任一條件交換，所得命題正確．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，平行線的性質(zhì)和判定，三角形的角平分線等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用性質(zhì)和判定進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．