Question

11、已知n是正整數，且2n+1與3n+1都是完全平方數．是否存在n，使得5n+3是質數？如果存在，請求出所有n的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：設2n+1=k²，3n+1=m²，則5n+3轉化為關于k、m的代數式的積，根據式子特點，得到5n+3是合數．

解答：解：如果2n+1=k²，3n+1=m²，
則5n+3=4（2n+1）-（3n+1）=4k²-m²=（2k+m）（2k-m）．
因為5n+3＞（3n+1）+2=m²+2＞2m+1，
所以2k-m≠1（否則5n+3=2k+m=2m+1）．
從而5n+3=（2k+m）（2k-m）是合數．

點評：本題考查了完全平方數的應用，考查了因式分解法求值的應用，考查了分類討論思想，本題中討論2k-m與2k+m的值是解題的關鍵．