Question

已知拋物線y=kx²+（k-2）x-2（其中k＞0）．
（1）求該拋物線與x軸的交點(diǎn)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)（可以用含k的代數(shù)式表示）；
（2）若記該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為P（m，n），直接寫(xiě)出|n|的最小值；
（3）將該拋物線先向右平移

1

2

個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移

1

k

個(gè)單位長(zhǎng)度，隨著k的變化，平移后的拋物線的頂點(diǎn)都在某個(gè)新函數(shù)的圖象上，求新函數(shù)的解析式（不要求寫(xiě)自變量的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解方程kx²+（k-2）x-2=0即可得到拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）代入進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，然后利用絕對(duì)值的性質(zhì)，再根據(jù)恒不等式列式進(jìn)行解答；
（3）根據(jù)左加右減，上加下減，寫(xiě)出平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后消掉字母k即可得解．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，kx²+（k-2）x-2=0，
即（kx-2）（x+1）=0，
解得x₁=

2

k

，x₂=-1，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

2

k

，0）與（-1，0），
-

b

2a

=-

k-2

2k

=

1

k

-

1

2

，

4ac-b2

4a

=

4k×(-2)-(k-2)2

4k

=-

(k+2)2

4k

，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

1

k

-

1

2

，-

(k+2)2

4k

）；

（2）根據(jù)（1），|n|=|-

(k+2)2

4k

|=

(k+2)2

4k

=

k2+4k+4

4k

=

k

4

+

1

k

+1≥2

k 4 × 1 k

+1=1+1=2，
當(dāng)且僅當(dāng)

k

4

=

1

k

，即k=2時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)k=2時(shí)，|n|的最小值是2；

（3）

1

k

-

1

2

+

1

2

=

1

k

，
-

(k+2)2

4k

+

1

k

=

-k2-4k-4+4

4k

=

-k2-4k

4k

=-

1

4

k-1，
設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則

x= 1 k y=- 1 4 k-1

，
消掉字母k得，y=-

1

4x

-1，
∴新函數(shù)的解析式為y=-

1

4x

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，頂點(diǎn)坐標(biāo)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，綜合性較強(qiáng)，難度較大，需仔細(xì)分析求解．