Question

矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點A的對應點A′落在線段BC上，再打開得到折痕EF．

（1）當A′與B重合時（如圖1），EF=       ；當折痕EF過點D時（如圖2），求線段EF的長；
（2）①觀察圖3和圖4，設BA′=x，①當x的取值范圍是       時，四邊形AEA′F是菱形；②在①的條件下，利用圖4證明四邊形AEA′F是菱形．

Answer 1

（1）當A′與B重合時，EF=5，當折痕EF過點D時EF=，（2）①，②證明見解析

解：(1)5。
由折疊（軸對稱）性質知A′D=AD=5，∠A=∠EA′D=90⁰。
在Rt△A′DC中，DC=AB=2，∴。
∴A′B=BC－A′C=5－4=1。
∵∠EA′B＋∠BEA′=∠EA′B＋∠FA′C=90⁰，∴∠BEA′=∠FA′C。
又 ∵∠B=∠C=90⁰，∴Rt△EBA′∽Rt△A′CF。∴，即
∴。
在Rt△A′EF中，。
（2）①。
②證明：由折疊（軸對稱）性質知∠AEF=∠FEA′，AE=A′E，AF=A′F。
又 ∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEA′ 。∴∠AEF=∠AFE 。
∴AE=AF�！郃E=A′E=AF=A′F。
∴四邊形AEA′F是菱形。
(1)根據(jù)折疊和矩形的性質，當A′與B重合時（如圖1），EF= AD=5。根據(jù)折疊和矩形的性質，以及勾股定理求出A′B、A′F和FC的長，由Rt△EBA′∽Rt△A′CF求得，在Rt△A′EF中，由勾股定理求得EF的長。
（2）①由圖3和圖4可得，當時，四邊形AEA′F是菱形。
②由折疊和矩形的性質，可得AE=A′E，AF=A′F。由平行和等腰三角形的性質可得AE=AF。從而AE=A′E=AF=A′F。根據(jù)菱形的判定得四邊形AEA′F是菱形。