Question

13．在四邊形ABCD中，AD=1，AB=7，BC=7，AD∥BC，∠ABC=90°，將線段DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°到線段DE，求線段AE的長(zhǎng)度．（至少用兩種方法）

Answer 1

分析 方法一：作DH⊥BC于H，EF⊥AD于F，如圖1，易得四邊形ABHD為矩形，得到BH=AD=1，DH=AB=7，則CH=BC-BH=6，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CDE=90°，DC=DE，接著證明△DCH≌△DEF，所以CH=EF=6，DH=DF=7，AF=AD+DF=8，然后在Rt△AEF中利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)；
方法二：作CH⊥AD于H，EF⊥AD于F，如圖2，易得四邊形ABCH為矩形，得到AH=BC=7，CH=AB=7，則DH=AH-AD=6，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CDE=90°，DC=DE，與方法一一樣可證明△DCH≌△EDF得到CH=DF=7，DH=EF=6，AF=AD+DF=8，然后利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)．

解答 解：方法一：作DH⊥BC于H，EF⊥AD于F，如圖1，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴四邊形ABHD為矩形，
∴BH=AD=1，DH=AB=7，
∴CH=BC-BH=6，
∵線段DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°到線段DE，
∴∠CDE=90°，DC=DE，
∴∠CDF+∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠CDH=90°，
∴∠CDH=∠EDF，
在△DCH和△DEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DHC=∠DFE}\\{∠CDH=∠EDF}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴△DCH≌△DEF，
∴CH=EF=6，DH=DF=7，
∴AF=AD+DF=8，
在Rt△AEF中，AE=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10；
方法二：作CH⊥AD于H，EF⊥AD于F，如圖2，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCH為矩形，
∴AH=BC=7，CH=AB=7，
∴DH=AH-AD=6，
∵線段DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°到線段DE，
∴∠CDE=90°，DC=DE，
與方法一一樣可證明△DCH≌△EDF，
∴CH=DF=7，DH=EF=6，
∴AF=AD+DF=8，
在Rt△AEF中，AE=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．本題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形證明線段相等．