如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)。若一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移,分別交線段OA、CA和拋物線于點(diǎn)E、M和點(diǎn)P,連結(jié)PA、PB.設(shè)直線l移動的時間為t(0<t<4)秒,求四邊形PBCA的面積S(面積單位)與t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并求出四邊形PBCA的最大面積。
解:在中,令x=0,得y=-4;令y=0,得x=-1或x=8。
∴A(8,0),B(0,-4)。
∵AB=AC,∴OB=OC!郈(0, 4)。
設(shè)直線AC:,由A(8,0),C(0, 4)得
,解得!嘀本AC:。
∴。
∴四邊形PBCA的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式為(0<t<4)。
∵,
∴四邊形PBCA的最大面積為41個平方單位。
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題,動直線問題,等腰三角形的性質(zhì),待定系數(shù)法,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,二次函數(shù)最值,轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
定義:如果一個y與x的函數(shù)圖象經(jīng)過平移后能與某反比例函數(shù)的圖象重合,那么稱這個函數(shù)是y與x的“反比例平移函數(shù)”.例如:的圖象向左平移2個單位,再向下平移1個單位得到的圖象,則是y與x的“反比例平移函數(shù)”.
(1)若矩形的兩邊分別是2cm、3cm,當(dāng)這兩邊分別增加x(cm)、y(cm)后,得到的新矩形的面積為8cm2,求y與x的函數(shù)表達(dá)式,并判斷這個函數(shù)是否為“反比例平移函數(shù)”.
(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為原點(diǎn),矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(9,0)、(0,3).點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),連接OB、CD交于點(diǎn)E,“反比例平移函數(shù)”的圖象經(jīng)過B、E兩點(diǎn).則這個“反比例平移函數(shù)”的表達(dá)式為 ;這個“反比例平移函數(shù)”的圖象經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q與某一個反比例函數(shù)的圖象重合,請寫出這個反比例函數(shù)的表達(dá)式.
(3)在(2)的條件下,已知過線段BE中點(diǎn)的一條直線l交這個“反比例平移函數(shù)”圖象于P、Q兩點(diǎn)(P在Q的右側(cè)),若B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為16,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,已知動點(diǎn)A在函數(shù)(x>o)的圖象上,AB⊥x軸于點(diǎn)B,AC⊥y軸于點(diǎn)C,延長CA至點(diǎn)D,使AD=AB,延長BA至點(diǎn)E,使AE=AC。直線DE分別交x軸,y軸于點(diǎn)P,Q。當(dāng)QE:DP=4:9時,圖中的陰影部分的面積等于 _。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖1,在□ABCD中,AH⊥DC,垂足為H,AB=,AD=7,AH=. 現(xiàn)有兩個動點(diǎn)E、F同時從點(diǎn)A出發(fā),分別以每秒1個單位長度、每秒3個單位長度的速度沿射線AC方向勻速運(yùn)動. 在點(diǎn)E、F運(yùn)動過程中,以EF為邊作等邊△EFG,使△EFG與△ABC在射線AC的同側(cè),當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)C時,E、F兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動. 設(shè)運(yùn)轉(zhuǎn)時間為t秒.
(1)求線段AC的長;
(2)在整個運(yùn)動過程中,設(shè)等邊△EFG與△ABC重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍;
(3)當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的頂點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時,如圖2,將△EFG繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一個角度. 在旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,F(xiàn)的對應(yīng)點(diǎn)為F′,G的對應(yīng)點(diǎn)為G′. 設(shè)直線F′G′與射線DC、射線AC分別相交于M、N兩點(diǎn).試問:是否存在點(diǎn)M、N,使得△CMN是以∠MCN為底角的等腰三角形?若存在,請求出線段CM的長度;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(x,y)是拋物線上的一個動點(diǎn),拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D,經(jīng)過點(diǎn)P的直線PE與y軸交于點(diǎn)E,是否存在△OPE與△OPD全等?若存在,請求出直線PE的解析式;若不存在,請說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm.點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C同時出發(fā),沿矩形的邊按逆時針方向移動,點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s,點(diǎn)F的速度為4cm/s,當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G(即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合)時,三個點(diǎn)隨之停止移動.設(shè)移動開始后第ts時,△EFG的面積為Scm2。
(1)當(dāng)=1s時,S的值是多少?
(2) 當(dāng)時,點(diǎn)E、F、G分別在邊AB、BC、CD上移動,用含t的代數(shù)式表示S;當(dāng)時,點(diǎn)E在邊AB上移動,點(diǎn)F、G都在邊CD上移動,用含t的代數(shù)式表示S.
(3)若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動,當(dāng)為何值時,以點(diǎn)B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與以C、F、G為頂點(diǎn)的三角形相似?請說明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,已知點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn),過點(diǎn)P分別作PM⊥x軸于點(diǎn)M,PN⊥y軸于點(diǎn)N,在四邊形PMON上分別截取PC=MP,MD=OM,OE=ON,NF=NP.問:在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P,使四邊形CDEF為矩形?若存在,請求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
操作發(fā)現(xiàn)
將一副直角三角板如圖①擺放,能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合.
問題解決
將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)30°,點(diǎn)C落在BF上,AC與BD交于點(diǎn)O,連接CD,如圖②.
(1)求證:AD∥BF;
(2)若AD=2,求AB的長.
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