Question

已知直線l₁：y=kx+b（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)P（m，n），則把點(diǎn)Q（k，b）叫做點(diǎn)P的“和諧點(diǎn)”
（1）若P點(diǎn)坐標(biāo)（2，4），寫出P點(diǎn)的三個“和諧點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（2）判斷（1）中得到的三個點(diǎn)能否在同一條直線上，并說明理由；
（3）若點(diǎn)P（2，4）的“和諧點(diǎn)“Q的坐標(biāo)（m，2012），求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：新定義

分析：（1）先把P點(diǎn)坐標(biāo)代入y=2x+4得到2k+b=4，然后分別求出k=1、-1、2時對應(yīng)的k的值，然后根據(jù)新定義得到P點(diǎn)的三個“和諧點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求出經(jīng)過三個點(diǎn)中兩個點(diǎn)的直線解析式，然后判斷第三個點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足解析式；
（3）根據(jù)新定義把（m，2012）代入2k+b=4即可求出m的值．

解答：解：（1）把P（2，4）代入y=kx+b得2k+b=4，
當(dāng)k=1時，b=2；當(dāng)k=-1時，b=6；當(dāng)k=2時，b=0，
所以P點(diǎn)的三個“和諧點(diǎn)”的坐標(biāo)為（1，2）、（-1，6）、（2，0）；
（2）在．理由如下：
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)（1，2）和（-1，6）的直線解析式為y=mx+n，
根據(jù)題意得

m+n=2 -m+n=6

，解得

m=-2 n=4

，
即此直線解析式為y=-2x+4，
當(dāng)x=2時，y=-2×2+4=0，
所以點(diǎn)（2，0）在直線y=-2x+4上，
即（1）中得到的三個點(diǎn)在同一條直線上；
（3）因?yàn)?k+b=4，
把（m，2012）代入得2m+2012=4，解得m=-1004．

點(diǎn)評：本題考查了一函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-bk，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b）．直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b．