Question

如圖，已知拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B．
【小題1】求A、B兩點的坐標，并求直線AB的解析式；
【小題2】設（）是直線上的一點，Q是OP的中點（O是原點），以PQ為對角線作正方形PEQF．若正方形PEQF與直線AB有公共點，求x的取值范圍；
【小題3】在（2）的條件下，記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S，求S關于x的函數解析式，并探究S的最大值．

Answer 1

【小題1】令，得，即，解得，，所以．令，得，所以．設直線AB的解析式為，則，解得，所以直線AB的解析式為．
【小題2】當點在直線AB上時，，解得，當點在直線AB上時，，解得．所以，若正方形PEQF與直線AB有公共點，則．
【小題3】當點在直線AB上時，（此時點F也在直線AB上）
，解得． ①當時，直線AB分別與PE、PF有交點，設交點分別為C、D，
此時，，
又，
所以，
從而，

．
因為，所以當時，．      ——2分
②當時，直線AB分別與QE、QF有交點，設交點分別為M、N，
此時，，
又，
所以，
即．
其中當時，．        ——2分
綜合①②得，當時，．    ——1分解析:
略