Question

如圖，矩形OABC邊長(zhǎng)OA、OC分別為12cm和6cm，點(diǎn)A、C分別在y軸和x軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B，且18a+c=0．
（1）求拋物線的關(guān)系式．
（2）①若點(diǎn)P從A向B移動(dòng)，速度是1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從B向C移動(dòng)，速度是2cm/s．移動(dòng)t秒后，設(shè)△PBQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式并寫出t的取值范圍．
②當(dāng)S取最大值時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)R，使P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊相等求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，再聯(lián)立18a+c=0，解關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，然后即可得到拋物線的關(guān)系式；
（2）①根據(jù)速度的不同，表示出BP、BQ的長(zhǎng)度，然后利用三角形的面積公式列式整理即可得到S與t的關(guān)系式，根據(jù)速度分別求出點(diǎn)P與點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可得到t取值范圍；
②先根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題求出S取最大值時(shí)的t的值，從而求出點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，分QR與PB是對(duì)邊時(shí)，PR與QB是對(duì)邊時(shí)，兩種情況求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式進(jìn)行驗(yàn)證，如果點(diǎn)Q在拋物線上，則存在，否則不存在．

解答：解：（1）∵矩形OABC邊長(zhǎng)OA、OC分別為12cm和6cm，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（0，-12），B（6，-12），
又∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B，且18a+c=0，
∴

c=-12 36a+6b+c=-12 18a+c=0

，
解得

a= 2 3 b=-4 c=-12

，
∴拋物線解析式為y=

2

3

x²-4x-12；

（2）①根據(jù)題意，PB=AB-AP=6-t，BQ=2t，
所以，S=

1

2

PB•BQ=

1

2

（6-t）×2t=-t²+6t，
即S=-t²+6t，
點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為6÷1=6秒，
點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為12÷2=6秒，
所以，t的取值范圍是0＜t＜6；

②拋物線上存在點(diǎn)R（3，-18），使P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
理由如下：∵S=-t²+6t=-（t-3）²+9，
∴當(dāng)t=3秒時(shí)，S取最大值，
此時(shí)，PB=AB-AP=6-t=6-3=3，
BQ=2t=2×3=6，
所以，要使P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
（i）當(dāng)QR與PB是對(duì)邊時(shí)，點(diǎn)R的橫坐標(biāo)是6+3=9，縱坐標(biāo)是-（12-6）=-6，
所以點(diǎn)R的坐標(biāo)為（9，-6），
此時(shí)

2

3

×9²-4×9-12=6≠-6，
所以點(diǎn)R不在拋物線上，
（ii）當(dāng)PR與QB是對(duì)邊時(shí)，點(diǎn)R的橫坐標(biāo)是3，縱坐標(biāo)是-（12+6）=-18，
所以點(diǎn)R的坐標(biāo)是（3，-18），
此時(shí)，

2

3

×3²-4×3-12=-18，
所以點(diǎn)R在拋物線上，
綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)R（3，-18），使P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的問題，主要利用了矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的最大值問題，以及平行四邊形的性質(zhì)，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊沒有明確，注意分情況討論求解．