Question

已知如圖△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BO和CO相交于O點
（1）當∠A=40°時，∠BOC=______；
（2）當∠BOC=m時，則∠A為多少？（用含m的式子表示）說明理由．

Answer 1

解：（1）△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°，
∵BO、CO是∠ABC，∠ACB的兩條角平分線．
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=70°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=110°．
故答案為：110°；

（2）∠BOC=90°+∠A．
理由如下：延長BO交AC于點P，
∵BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠A+2∠ABP+2∠ACO=180°，
∴∠ABP+∠ACO=90°-∠A，
∵∠BPC=∠A+∠ABP，
∠BOC=∠BPC+∠ACO，
∴∠BOC=∠A+∠ABP+∠ACO=90°+∠A．
分析：（1）△ABC中，已知∠A即可得到∠ABC與∠ACB的和，而BO、CO是∠ABC，∠ACB的兩條角平分線，即可求得∠OBC與∠OCB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義和三角形外角和定理進行證明．
點評：此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的角平分線的定義，熟練應(yīng)用三角形外角和定理得出是解決問題的關(guān)鍵．