Question

如圖所示，將正方形ABCD中的△ABD繞對稱中心O 旋轉(zhuǎn)至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．請猜想AM與GN有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OB=OD，AD=AB，∠BDA=∠ABD=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OF=OD，∠F=∠BDA，GF=AD，則OB=OF，∠F=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”
可判斷△OBM≌△OFN，所以BM=FN，再利用AB=AD=GF，即可得到AM=GN．

解答：解：AM=GN．理由如下：
∵點O為正方形ABCD的中心，
∴OB=OD，AD=AB，∠BDA=∠ABD=45°，
∵△ABD繞對稱中心O 旋轉(zhuǎn)至△GEF的位置，
∴OF=OD，∠F=∠BDA，GF=AD，
∴OB=OF，∠F=∠ABD，
在△OBM和△OFN中

∠OBM=∠F ∠BOM=∠FON OB=OF

，
∴△OBM≌△OFN（AAS），
∴BM=FN，
∵AB=AD=GF，
∴AB-BM=GF-FN，
即AM=GN．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．